jueves, 14 de julio de 2011


LOS GRIEGOS Y LAS MATEMÁTICAS




Las matemáticas griegas hacen referencia a las matemáticas escritas desde el 600 a. C. hasta el 300 d.C. Los matemáticos griegos vivían en ciudades dispersas a lo largo del Mediterráneo Oriental, desde Italia hasta el Norte de África, pero estaban unidas por un lenguaje y una cultura común. Las matemáticas griegas del periodo siguiente a Alejandro Magno se llaman en ocasiones Matemáticas helenísticas.



Todas las Historias de la matemática coinciden en situar a los griegos en una posición especial como iniciadores de la ciencia moderna, aquélla que llega hasta nosotros.

Pero antes de los griegos existieron otras civilizaciones mucho más antiguas, con un nivel cultural más elevado que el que Grecia tiene en el s.VII a.C. y con un importante nivel de desarrollo técnico y cultural. Sus grandes obras de ingeniería y arquitectura son el mejor testimonio que nos ha quedado de su progreso.

La precisión de la estructura de las pirámides de Gizeh, con la longitud de sus lados casi exacta, con sus ángulos rectos casi perfectos, con la orientación de estos ángulos marcando los cuatro puntos cardinales con desviación de fracciones de grado; la complejidad técnica de la construcción de los zigurats babilonios, permiten suponer que estas civilizaciones habían alcanzado un elevado desarrollo del cálculo y la geometría, que les habían permitido superar dificultades técnicas. Pero ¿qué método empleaban? El método empírico, es decir, la técnica de ensayos y errores, y sólo en muy pequeña medida habían pasado de lo empírico a lo deductivo para obtener principios generales. Los egipcios y los babilonios no llegaron a construir un cuerpo teórico organizado, no hicieron abstracción. Estas civilizaciones se contentaron con desarrollar una técnica que funcionaba, pero no se plantearon por qué funcionaba.

Egipto

Los griegos, aprovechando los conocimientos técnicos de egipcios y babilonios, se van a preguntar el porqué de las cosas. Así, a partir de conocimientos prácticos consiguen extraer deducciones teóricas, consiguen encontrar principios generales que sirven para resolver y dar respuesta a muchísimos problemas concretos. Todo eso es consecuencia de la aplicación de un nuevo método, el método lógico.
La aplicación de la lógica a esos conocimientos matemáticos anteriores fue todo un éxito y las matemáticas progresaron rápidamente, alcanzando un desarrollo espectacular. Pero lo más importante fue que los éxitos en matemáticas, obtenidos por la aplicación del método lógico, fascinaron a los griegos de tal manera que comenzaron a aplicarlo también para dar respuesta a todas las grandes cuestiones de la vida y la naturaleza. Las matemáticas son, por tanto, la primera ciencia y la que le va a enseñar a todas las demás una nueva forma de enfocar los problemas y enigmas del mundo, un método de conocimiento. Por eso se llaman ‘matemáticas’, que significa ‘relativo al conocimiento’ o ‘relativo al aprendizaje’. A partir de este momento los mitos quedan desplazados y se sustituyen por la creencia en que todo lo que existe esconde un orden racional y por tanto la única forma de llegar a comprenderlo es mediante la razón humana. La razón es el único y suficiente instrumento para la investigación. Este planteamiento divide la historia de la humanidad en dos etapas: en un antes y un después de los griegos. Esta segunda es en la que todavía estamos.


Pero ¿por qué pasa esto en ese momento y con los griegos? La clave está en la organización político-social, que es completamente diferente a la de las civilizaciones orientales y a la del resto del mundo antiguo.

Las civilizaciones orientales tenían una división social muy clara:

- Dirigentes (minoría): el rey o faraón, los nobles, los sacerdotes.
- Trabajadores (mayoría): campesinos, alfareros, herreros y demás profesiones manuales.

Cada clase tenía sus funciones muy bien delimitadas.

- Dirigentes: dirigir y controlar a la clase trabajadora. Tenían como objetivo fundamental mantener la estructura social, para conservar los privilegios.
- Trabajadores: transformar las cosas.
Cada clase tenía su parcela de conocimientos necesarios para cumplir sus funciones:
- Los dirigentes controlaban la religión y la escritura.
- Los trabajadores controlaban la técnica para transformar las cosas.
A la clase dirigente no le interesa la técnica, sino la religión, la superstición y la magia, porque con ellas podían dominar al pueblo y conservar sus privilegios y evitaban el libre pensamiento que suponía una amenaza para su autoridad. La clase dirigente controla la escritura, que en las civilizaciones orientales son sistemas muy complejos, que requieren un aprendizaje largo.
Los trabajadores, en cambio, transmitían oralmente sus técnicas y sus habilidades entre los miembros de las clases más bajas de la sociedad. Tenían todo en contra para poder pasar de la experiencia a la ciencia:
- No conocían la escritura.
- Estaban dominados por la superstición impuesta oficialmente, que les impedía el pensamiento libre.
- Y otro factor fundamental: carecían de ocio y prosperidad económica, condiciones imprescindibles para que brote un elemento esencial para la ciencia: la curiosidad.
Esta situación no tiene nada que ver con la que encontramos en Grecia en el s.VII a.C.


Los griegos son un caso aparte en el mundo antiguo: no son un imperio, sino un conjunto de ciudades pequeñas, con gobiernos autónomos. El poder político, en ese momento, está en manos de una clase media que vive del comercio y de la pequeña industria (alfarería, armas, orfebrería), y a la que le interesa el progreso técnico, porque le facilita el trabajo y le permite ganancias mayores. Todo esto es especialmente cierto en Mileto, la ciudad griega más próspera y culta en ese momento gracias al esfuerzo de esa clase media.


El progreso es un buen aliado contra la superstición y los milesios saben que no tienen una deuda demasiado importante con los dioses. Se dan por tanto unas condiciones favorables para el pensamiento racional.
- Buen nivel de vida, que deja tiempo para el ocio.
- Ausencia de un pensamiento oficial que limitase el libre pensamiento.
- La escritura: Dos siglos antes los griegos habían adoptado y adaptado el alfabeto fenicio, un sistema muy simple, de 24 signos, que no requiere un aprendizaje largo. La escritura ya no va a ser una materia de alta especialización, sino algo al alcance de cualquiera. Y la escritura es un elemento fundamental para el progreso científico.
Estas circunstancias son las que explican el paso tan importante que dan los griegos.
Son las únicas en las que podría haber nacido la ciencia moderna.

                                                               Alfabeto griego
                                             
Las matemáticas abren el camino a otras ciencias: Tales y la escuela de Mileto

En este clima favorable surgen los primeros pensadores. El primero de todos fue Tales de Mileto (640-584 a.C.). Tales probablemente nunca habría llegado al método racional, a la ciencia, si antes no hubiese adquirido un bagaje de conocimientos prácticos. En Egipto quedó sorprendido con las técnicas que utilizaban para la medición de los campos y para la construcción de grandes edificios. En Babilonia conoció los avances que este pueblo había logrado en astronomía. El mérito de Tales está en aplicar a estos conocimientos prácticos el lógos, la razón. Así donde los egipcios veían campos cuadrados o triangulares, él ve conceptos geométricos, triángulos o cuadrados puros que tienen las mismas propiedades, ya estén materializados en un campo o en cualquier otra superficie. Así descubre el concepto de forma, el primer concepto matemático del mundo occidental. Acaban de nacer las matemáticas como ciencia. Acaba de nacer el pensamiento lógico, es decir, la filosofía. En la antigüedad filosofía y matemáticas son la misma cosa.

                                                            La Escuela de Atenas
                                                      
Tales funda una escuela en su ciudad en donde enseña y trabaja con sus discípulos. Es la escuela de milesia, la 1ª escuela filosófica del mundo. En esta escuela va a aplicar el método de abstracción a la naturaleza, con la intención de encontrar las leyes naturales generales que permitan explicar todos los casos particulares. A Tales le interesó investigar la materia primitiva de la que se formaban todas las que componen el mundo y concluyó que era el agua. De ella surgen el fuego, la tierra y el aire y de la combinación de estos elementos toda la diversidad del mundo actual. Tales, a partir de las matemáticas, estaba abriendo el camino para la creación de otras ciencias.
Los pensadores de la escuela milesia fueron llamados ‘físicos’, porque explicaban el mundo de forma ‘natural’, frente a aquellos que lo explicaban de un modo mítico y que por ello eran llamados ‘teólogos’.

                                                                Tales de Mileto
                                                          

Las matemáticas como religión: Pitágoras

Cuando Tales estaba en la madurez, nace en la isla de Samos uno de los genios más originales que dio la historia de la humanidad: Pitágoras (586-500 a.C.). El joven recibe una educación esmerada, como corresponde a la clase acomodada: música y canto, gimnasia y estudio de Homero; y, además, aprende de su padre el lucrativo oficio de tallista de piedras preciosas. Pero la curiosidad innata de Pitágoras le lleva a abandonar su profesión para dedicarse a viajar en busca de las fuentes del conocimiento. Su estancia entre los sacerdotes del templo de Menfis le aporta una sólida formación místico-religiosa y un importante bagaje de conocimientos técnicos. La creencia egipcia en la vida ultraterrena feliz y la necesidad de purificar el alma para acceder a ella impresionan al sabio de tal forma que se convertirán en uno de los ejes de la teología pitagórica. El cálculo y la geometría necesarios para superar las dificultades técnicas de la construcción de templos y monumentos funerarios, llevan a Pitágoras a la deducción de que estas ciencias se utilizan para buscar el camino a la inmortalidad. Aquí tenemos cómo Pitágoras empieza a unir religión y matemática. El paso siguiente será hacer de las matemáticas una religión: son las matemáticas trascendentes.
Después de 20 años en Egipto y 12 en Babilonia, en donde aprende astronomía, Pitágoras regresa a Samos. Tiene ya cerca de 60 años, un enorme bagaje cultural y, sobre todo, una enorme cantidad de experiencias, entre las que había una que sorprendía bastante a los griegos: en el mundo oriental el pueblo tiene una vida muy precaria, debido a que los gobernantes mantiene en la ignorancia a los gobernados para tenerlos sometidos. Esta experiencia hará que Pitágoras adquiera el empeño de cambiar el mundo, educando a los hombres para que salgan de su ignorancia y se liberen de la opresión. Para ello hay que enseñarles la verdadera ciencia de la vida, la que explica todas las cosas: es decir, las matemáticas trascendentes.

Pitágoras viaja a Crotona, en el sur de Italia. La buena acogida que le dispensan sus habitantes le anima a participar en política, no por ambición personal, sino por deseo de reformar la sociedad según sus principios e ideas morales, estableciendo un gobierno de “los mejores”, los nuevos aristócratas.

Su proyecto formativo se materializa en la fundación de una escuela que será un centro de formación y también una comunidad organizada. Los pitagóricos vivían allí, formando una pequeña ciudad de sabios en la que se ponía en práctica la doctrina del maestro. Los aspirantes a discípulos, hombres y mujeres, tenían que pasar unas pruebas de iniciación a fin de determinar su condición moral. Las pruebas de humildad eran definitivas, ya que para Pitágoras el orgullo es un factor negativo, porque impide progresar hacia la perfección y dificulta el conocimiento. Los admitidos pasaban a formar parte de la comunidad pitagórica y adoptaban sus austeras reglas de vida.
El aprendizaje se organizaba en dos grados:

En el primer grado los discípulos, durante 5 años, se limitaban a escuchar las enseñanzas de los maestros, sin poder preguntar la razón de las cosas. Estos discípulos se llamaban ‘acusmáticos’, oyentes. Aquéllos que demostraban capacidades suficientes pasaban al segundo grado y adquirían conocimientos más profundos: las claves para resolver el enigma del universo, las matemáticas trascendentales. Estos discípulos de segundo grado eran llamados ‘matemáticos’.

¿En qué consistían estas matemáticas trascendentales? Pitágoras consideraba que lo racional es lo ordenado, lo bello, lo proporcional, lo sujeto a medida. Por lo tanto, todo lo que existe puede ser reducido a medidas y proporciones, en definitiva, a números: el número es el elemento clave para comprender el mundo. Los números explican el universo físico, las estructuras del mundo, pero además simbolizan cualidades morales.
Veamos los 4 primeros números.

El 1 es el principio de todas las cosas. Representa la esencia divina, el espíritu, lo Bello, el Bien. Geométricamente es el punto: del punto nace todos los demás elementos geométricos.

El 2 es la dualidad. Simboliza la vida sensible, la facultad de engendrar de la naturaleza: el dos engendra todo. Es el símbolo de lo masculino. Geométricamente es la línea.

El 3 es la triada. Es un número perfecto porque se compone de principio, medio y fin.
Es el sexo femenino. Geométricamente es el triángulo, la superficie más simple.

El 4 cuatro es la tetrada. Simboliza la capacidad de dar forma a los sólidos, a los seres individuales con su alma eterna y sus sentimientos. Geométricamente es el tetraedro, el poliedro más simple.

Los cuatro primeros números explican la formación del mundo, de todo lo que existe, y su suma es 10, el número perfecto. Los pitagóricos lo representaron visualmente con el tetraktuv", el triángulo divino, que se convirtió en uno de sus símbolos sagrados.

Las matemáticas científicas, mística aparte, avanzaron con los pitagóricos lo que no habían avanzado en los miles de años de las civilizaciones orientales y se especializan en cuatro ramas: aritmética, geometría, astronomía y acústica. Los mayores avances se hicieron en el campo de la geometría.

Junto a los principios matemáticos convivían una serie de creencias religiosas y de prácticas supersticiosas y mágicas. Para los pitagóricos Dios es la armonía suprema y el universo es un todo vivo, organizado, armónico y, por supuesto, eterno. De él se desprenden las almas, que, como parte del universo, también son inmortales, armónicas y organizadas. Las almas se introducen en cuerpos mortales en donde quedan prisioneras y se contaminan en contacto con la materia. La aspiración del alma es liberarse de las ataduras mortales y unirse de nuevo con el universo, una vez liberada de las impurezas de la vida mortal. Mientras esa purificación no se produzca, el alma irá pasando de un cuerpo a otro: es la transmigración de las almas. A la purificación del alma se llega mediante una vida ascética, sujeta a ejercicio constante de moderación. Es la forma de vida que se practicaba en la comunidad pitagórica y la que se pretendía implantar en toda la sociedad. La tradición nos transmite un conjunto de sentencias atribuidos a Pitágoras que pretenden ayudar a conseguir una vida personal y social armónica. Algunas de ellas las podríamos suscribir perfectamente hoy en día:

- Si te encargas de negocios públicos, renuncia a los tuyos.
- Legislador: castiga al ciudadano a la tercera falta y al magistrado a la primera.
- Hombre de estado. Aprende la ciencia de los números para saber colocar a los hombres. Las almas humanas se parecen a los números: no valen más que por el rango que se les asigna.
- Hombre de leyes: sé matemático. No debes expresarte más que por axiomas.
- Los padres déspotas pegan a sus hijos, como se golpea el plomo, para obtener la forma deseada. Padres de familia, modelad sólo con los dedos esa blanda cera.
- Escucha y serás sabio. El principio de la sabiduría es el silencio.
- Cultiva la ciencia de los números. Nuestros vicios y nuestros crímenes son errores de cálculo.
- Prefiere la geometría a la aritmética. La aritmética es la ciencia del vulgo, la del comerciante ávido de ganancia. La geometría es la ciencia del filósofo.
- No aspires jamás a la vanidad de ser rico; contribuirías a que hubiese pobres.

Junto a estos consejos juiciosos, hay sentencias sorprendentes que no tienen más explicación que la superstición:

- No te pongas un anillo.
- No remuevas el fuego con un cuchillo.
- Escupes sobre las limaduras de tus propias uñas y los recortes de tus cabellos.
- Toca el agua cuando truene.
- Y la más polémica de todas: no comas habas.

Son todas ellas creencias basadas en la magia, porque en el pitagorismo se concilian ciencia y magia, conceptos excluyentes para cualquiera de nosotros.

La comunidad pitagórica es, como ya sabemos, una escuela científica y, a la vez, una comunidad religiosa, que, además, tenía las características de una secta: Pruebas iniciáticas, observancia de silencio, veneración de la figura del fundador y oposición a la crítica y a la discusión de ciertos preceptos. Esto explica que se haya creado un halo de misterio en torno a la escuela y que desde muy pronto se genere una leyenda en torno a Pitágoras que hace de él un personaje sobrenatural. Son docenas de anécdotas las que se le atribuyeron y sobre su vida se tejen historias que van desde su nacimiento hasta las circunstancias de su muerte: era hijo de Apolo, poseía el don de la adivinación, tenía un muslo de oro, estaba en dos lugares al mismo tiempo, podía hacer cesar las tempestades, amanzaba a las fieras con sus palabras, etc. Esta leyenda convierte a Pitágoras en un personaje único. Por eso en la antigüedad se decía que los seres racionales se dividían en tres clases: los dioses, los hombres y los seres como Pitágoras.

                                                          Pitágoras de Samos

Las matemáticas en la educación

Aunque nacen en el s.VII a.C., las matemáticas siguieron siendo durante mucho tiempo una disciplina prácticamente ajena para los griegos. Durante siglos la educación que los griegos dieron a sus hijos fue aristocrática, como la de los héroes de Homero, y estaba encaminada a conseguir la perfección física, moral e intelectual del individuo. La gimnasia, la música y la poesía eran las disciplinas fundamentales. Un individuo formado de esta manera podía desenvolverse perfectamente en la vida social, para la cual de poco o de nada le servían las matemáticas. Esto no quiere decir que no aprendiesen a contar y tuviesen de las pesas y medidas un conocimiento imprescindible para manejarse en la vida cotidiana.

Pero en el siglo IV a.C. vive Platón y con él, por primera vez en la historia de la humanidad, se le va a conceder a las matemáticas un papel esencial en la educación de los individuos y además en todos los niveles. El aprendizaje de los números y la resolución de los problemas concretos que plantea la vida cotidiana y los oficios, en el primer nivel, y el estudio de las cuatro disciplinas pitagóricas, en el segundo, serán esenciales en la formación del individuo, no sólo por los conocimientos concretos que aportan, sino, y sobre todo, porque las matemáticas tienen una virtud formativa más profunda. Para Platón las matemáticas sirven para despertar el espíritu y le dan memoria y agilidad como ninguna otra materia. Todos los que las estudian sacan provecho de ellas: a las inteligencias mejor dotadas las ponen de manifiesto y las preparan para el estudio de cualquier otra disciplina. Los espíritus más lentos, despiertan y adquieren una capacidad de aprendizaje que no tenían por naturaleza.

Platón es el primero en diseñar un programa específico de enseñanza en el que las matemáticas constituyen el eje de la educación. Aunque su programa no se lleva a cabo masivamente, sus consejos en lo referente a este tema no cayeron en saco roto. En la época siguiente, la época helenística, las matemáticas figuraron, junto con las disciplinas literarias, en el programa ideal de cultura general de los griegos.

Su influencia en el desarrollo posterior de las matemáticas llega a nuestros días. A la derecha se puede ver el un manuscrito de 1401 de "La República" de Platón. Para Platón la Matemática no sólo era una realidad perfecta, sino era la auténtica realidad de la cual nuestro mundo cotidiano no es más que un reflejo imperfecto; por tanto los conceptos de la Matemática son independientes de la experiencia y tienen una realidad propia, se los descubre y no se les inventa o crea:«los matemáticos pueden usar dibujos y razonar sobre ellos»,escribió Platón en La Republica, «pero sabiendo que no están pensando en esos dibujos en concreto, sino en lo que ellos representan; así, son el cuadrado absoluto y el diámetro absoluto los objetos de su razonamiento, no el diámetro que ellos dibujaron».

De esta forma Platón concluye que la Matemática ha de ser independiente de todo pragmatismo empírico y de la utilidad inmediata y además ésta debe servir de introducción al estudio de la Filosofía y de ejercer de fundamento a todo el saber humano. Plutarco cuenta en sus Vidas Paralelas la indignación de Platón contra aquellos que «degradaban y echaban a perder lo más excelente de la Geometría al trasladarla de lo incorpóreo e intelectual a lo sensible y emplearla en los cuerpos que son objeto de oficios toscos y manuales».

                    Platon en la Escuela de Atenas; señala al cielo en alusion al mundo de las ideas
Euclides fue el fundador de la Escuela de Matemáticas de Alejandría. Se conocen pocos detalles de su vida, personalidad, fecha y lugar de nacimiento. Escribió numerosas obras, entre ellas: “Datos”, “División de Figuras”, “Fenómenos”, “Óptica”, “Catróptica (geometría de los rayos reflejados)”, etc.



Sin duda alguna la obra cumbre de la Matemática griega, que aún hoy levanta pasiones entre los matemáticos y científicos en general es sin duda Los Elementos de Euclides. Generalmente se cree, erróneamente, que Los Elementos de Euclides contienen únicamente un resumen sumario y exhaustivo de toda la Geometría griega. En realidad Los Elementos supusieron la gran síntesis no sólo de la producción geométrica griega hasta el siglo III a. C. sino también de un compendio, usando el lenguaje geométrico, de toda la Matemática elemental: Geometría plana y espacial, Aritmética y Álgebra. A este respecto escribió Proclos: «Son singularmente admirables sus Elementos de Geometría (de Euclides) por el orden que reina en ellos, la selección de los teoremas y problemas tomados como elementos y también la variedad de los razonamientos desarrollados de todas las maneras y que conducen a la convicción» y más adelante expresa «Los Elementos son una guía segura y completa para la consideración científica de los objetos geométricos».




Incluiremos aquí cuatro ejemplares de los Elementos de Euclides. El primero un manuscrito griego de los siglos XI-XII donde podemos admirar el famoso pentagrama místico de los pitagóricos por su relación con la razón áurea a la que cantó el famoso poeta Rafael Alberti. A su lado una primera impresión, un incunable de 1482 impreso por Ratdolt en el que además aparecen impresos por primera vez figuras geométricas en su amplio margen de más de 8 cm. Abajo a la izquierda la edición princeps- o sea, aquella edición considerada de referencia por los expertos y que no tiene por que coincidir con la primera edición como ocurre en este caso - debida a Simón Grynadeus el viejo en Basilea en 1533. A la derecha una primera edición en castellano realizada por Rodrigo Zamorano usando probablemente la edición latina de Ratdol ya que reproduce la confusión de Euclides con el filósofo de Euclides de Megara de éste último.

Los elementos han sido la primera obra matemática fundamental que ha llegado hasta nuestros días, el texto más venerado y que mayor influencia ha tenido en toda la historia de la Matemática. De hecho,
después de la Biblia, son Los Elementos de Euclides la obra que más ediciones ha conocido desde que Gutenberg inventara la imprenta. Los Elementos están constituidos por XIII libros que contienen 465 proposiciones, todas verdaderas, que han resistido el paso del tiempo como ninguna otra científica permaneciendo vigente e insuperable a lo largo de más de 2300 años. De lo anterior no es por tanto de extrañar que de esta magnífica obra se nutrieran casi todos los grandes matemáticos que después han sido: Arquímedes, Newton, Euler, Gauss, .... No en vano Einstein escribe de ella «Es maravilloso que un hombre sea capaz de alcanzar tal grado de certeza y pureza haciendo uso exclusivo de su pensamiento», o Bertran Russel «la lectura de Euclides a los 11 años fue uno de los grandes acontecimientos de mi vida, tan deslumbrante como el primer amor ».

                                               Pintura idealizada de Euclides.

Si a Euclides se le considera el gran sistematizador y maestro de la matemática griega, ésta alcanza su cenit con la figura de Arquímedes: uno de los más grandes matemáticos y científicos de todos los tiempos. A Arquímedes se le deben innumerables cálculos de áreas y volúmenes; algunos tan importantes y difíciles como el área de la superficie esférica o una vuelta de espiral. A partir del siglo XIII se recuperó su obra en Europa Occidental, pero no fue hasta el XVI cuando los matemáticos volvieron a adquirir la suficiente capacidad para entenderla.


Arquímedes (278-212 a.C) era natural de Siracusa pero se formó en Alejandría bajo la correspondiente influencia de la ideología platónica de una matemática esencialmente teórica y abstracta. No obstante a ello, la actividad de este genio fue tremendamente original y diferente de la ciencia alejandrina ya que mezcló, enfrentándose contra todos los prejuicios platónicos, técnicas extraídas de la Mecánica, de lo infinitesimal, lo operativo. No obstante si bien ese era su modus operandi, lo escondía deliberadamente al escribir sus obras -excepto una como veremos a continuación- ya que todas ellas tienen la estructura euclidiana: comienza por las hipótesis para pasar a proposiciones impecablemente demostradas usando generalmente el método de exhausión de Eudoxo -para lo cual debía conocer de antemano la solución-. Esto último dio pie a las sospechas de muchos matemáticos -Wallis y Barrow entre ellos- de que Arquímedes tenía un método.

Durante ese mismo siglo III, la investigación geométrica de los griegos alcanzó su más alto grado de esplendor con Apolonio y Arquímedes de Siracusa. Se debe a Apolonio un gran tratado sobre las incógnitas e incluso, al parecer, un estudio de las epicicloides. Pero, sin ningún género de dudas, el mayor matemático de la antigüedad fue Arquímedes: el cálculo de π por aproximaciones sucesivas, la determinación de los volúmenes del cilindro y la esfera, la cuadratura del segmento de parábola, el empleo de los momentos estáticos y de los centros de gravedad abrieron, de hecho, el camino a la mecánica y al cálculo integral.


El método de Arquímedes se separa de la doctrina platónica. Al afán de la aplicación precisa añadió la investigación con extremo rigor científico. Estas dos inquietudes se encuentran, por una parte, por ejemplo, en la formulación del principio de la hidrostática, llamado todavía principio de Arquímedes, y por otra parte en la aplicación del método de agotamiento de Eudoxo al cálculo de áreas y volúmenes.


Fue el historiador de las Matemáticas Heiberg quien, en 1906, dio; con un palimpsesto conservado en Estambul de los siglos XII-XIV donde, debajo de varios textos litúrgicos, aparecieron varias obras de Arquímedes incluida una obra denominada El Método.


                                  El palimpsesto de Arquímedes

En ella Arquímedes cuenta como usando procedimientos mecánicos no rigurosos descubría sus geniales teoremas pero que ahora sabemos que fue la casualidad y no su voluntad quien los oculto hasta principios del siglo XX. Arquímedes muere a manos de un soldado romano durante la toma de Siracusa por las tropas del general Marcelo.

Arquímedes pensativo.
Óleo sobre tela del pintor Domenico Fetti (1620)

Contemporáneo de Arquímedes fue otro talento griego: Apolonio de Perga, el matemático griego al que debemos el estudio mejor y más completo de las cónicas: circunferencia, elipse, hipérbola y parábola. De su obra se ha perdido casi toda excepto aquellas que Pappus menciona en su Tesoro del Análisis. Su obra más importante es, sin lugar a dudas, Las Cónicas de cuyos 8 libros sólo han llegado hasta nosotros los siete primeros. En ella Apolonio estudia en detalle las cónicas y les da su nombre actual. Los términos elipse, hipérbola y parábola adoptados procedían del lenguaje de los pitagóricos y significaban deficiencia, exceso y equiparación. Incluimos aquí una fotografía de la edición preparada por Barrow en 1675 de los tres primeros libros aunque la edición princeps tendría que esperar todavía 35 años.





Apolonio de Perga







La matemática griega nunca recuperó el esplendor de la época de Euclides, Arquímedes y Apolonio, aunque siguió produciendo matemáticos de gran talla: Nicómaco, Herón, Ptolomeo y, sobre todo, Diofanto y Pappus.
Al primero debemos su famosa obra La Aritmética donde Diofanto introduce por primera vez una serie de abreviaturas para las incógnitas y las operaciones aritméticas iniciando lo que hoy se conoce como el Álgebra sincopada y es considerado por muchos como el padre del Álgebra que estaba por venir.
De todos los problemas considerados por Diofanto el más famoso es, sin duda alguna, el problema octavo del libro dos que reza: «Descomponer un cuadrado en suma de dos cuadrados», es decir resolver la ecuación x2+y2=a2. Algo más tarde este problema daría lugar a uno de los más famosos teoremas de las Matemáticas: El último teorema de Fermat «La ecuaciónxn+yn=an no tiene soluciones enteras para ningún n excepto n=2». Concretamente Fermat escribió en el margen de la edición de La Atritmética de Bachet que poseía lo siguiente: «Es imposible descomponer un cubo en dos cubos, un bicuadrado en dos bicuadrados, y en general, una potencia cualquiera, aparte del cuadrado, en dos potencias del mismo exponente. He encontrado una demostración realmente admirable, pero el margen del libro es muy pequeña para ponerla ».La nota de Fermat fue descubierta póstumamente por su hijo Samuel de Fermat quien la incluyo en su edición de La Aritmética. Incluimos dos versiones de esta genial obra. La primera (izquierda) es un magnífico manuscrito griego del siglo XVI de los primeros seis libros. La segunda es precisamente la edición que preparó su hijo y que contiene las notas de Fermat -véase la Observatio domini Petri de Fermat en la fotografía, y data de 1670. El segundo, Pappus, es considerado como el último gran geómetra griego. A el debemos La Colección Matemática, obra de un inmenso valor histórico gracias a la cual conocemos hoy los trabajos de muchos matemáticos griegos -como por ejemplo Apolonio-. Incluimos aquí la primera impresión de esta importante obra editada por Federico Commandino en Venecia en 1589. Fue a partir de ella que resurge el interés a mediados del siglo XIX por la historia de la matemática griega y que daría como fruto impresionantes ediciones de las obras de Euclides, Arquímedes, Apolonio, Diofanto, Pappus, etc.


Tras Pappus ya sólo encontramos comentaristas como Zenón, su hija Hipatia o Proclo. El final de la Matemática y, en general, de la ciencia griega lo simboliza la terrible muerte de Hipatia en Alejandría: fue brutalmente torturada y asesinada por un grupo de cristianos exaltados por Cirilo -después San Cirilo- en marzo del año 415 d. C. Cuenta un historiador de la época«la encerraron en una iglesia llamada Caesium; la desnudaron; le arrancaron la piel y le desgarraron la carne de su cuerpo utilizando conchas afiladas, hasta que su último aliento salió de su cuerpo; la descuartizaron; llevaron sus trozos hasta un lugar llamado Cinaron y los quemaron hasta reducirlos a cenizas». Fueron tiempos complicados para los científicos y, terribles, si además de científico se era mujer. Como colofón a esta sección de nuestra exposición incluimos un manuscrito griego del siglo XVI que contiene los comentarios de Zenón, padre de Hipatia, a las Hármonicas.

Hipatia
                                                                              
La repercusión real de las matemáticas en la vida de los griegos
La relación del pueblo llano y las matemáticas se limitó a lo imprescindible para manejarse en la vida cotidiana: contar, cálculo básico y conocimiento de los pesos y medidas. Los conocimientos de aritmética y geometría más avanzados siguieron siendo patrimonio de unos cuantos especialistas que, aparte de descubrir principios teóricos, trabajaron también en la aplicación práctica de los mismos. Es decir, matemática pura y matemática aplicada siempre fueron juntas. Las grandes construcciones públicas y la ingeniería bélica fueron quizás los campos más beneficiados. Sin embargo, las matemáticas no sirvieron, o sirvieron poco, para solucionar problemas e incomodidades de la vida cotidiana y los matemáticos constituyeron una minoría de incomprendidos que, como todas las minorías estaba de alguna manera marginada. Para el pueblo griego no dejaban de ser unos “tipos raros”, con actitudes extrañas y ocupaciones extravagantes, pero poco prácticos a la hora de resolver los problemas y paliar las necesidades de la vida cotidiana. Por eso se convirtieron en frecuente objeto de burla por parte de los autores de comedia, quienes los presentan al mismo nivel de toda la canalla que vive del cuento en Atenas. Un autor dramático llamado Aristofonte, fr.10 K-A hace en una comedia una descripción de los pitagóricos que ilustra lo que decimos:
“No beben más que agua: son ranas; se relamen de gusto con tomillo y berzas: son gusanos; no se lavan nunca: son una olla vieja; pasan el invierno a la intemperie: son cuervos; soportan el calor del mediodía y no paran de chacharear: son cigarras; no se ungen jamás con aceite: son bolas de polvo; andan de paseo descalzos al amanecer: son grullas; casi no duermen: son murciélagos” (fr. 10 K-A).

Algunos problemas de los matemáticos griegos

a) El sistema numeral

Las grandes aportaciones de los matemáticos griegos están sobre todo en el terreno de la geometría. La aritmética en cambio ve limitado su progreso por la carencia de un sistema de símbolos adecuados para la representación numérica. Para representar los números se utilizaron las letras del alfabeto.

Como se puede ver, cada letra representa las unidades, las decenas y las centenas. Con estos signos es posible representar todas las cantidades desde el 1 hasta el 999. Para que no haya confusión en un texto y sepamos inequívocamente que los signos tienen valor numérico y no fonético, se escriben con una coma a la derecha. A partir de esta cantidad, desde 1000 hasta 999.999, una iota suscrita a la izquierda indica que el valor del signo que viene a continuación se multiplica por mil.

Sin embargo éste no fue el único sistema utilizado por los griegos para la notación de los números. Junta a éste hubo otro muy parecido al romano, basado también en las letras del alfabeto, algo más sencillo, pero igualmente poco práctico.

Este sistema, poco flexible, servía para los usos prácticos de la vida cotidiana, pero no permitía la representación de grandes números, ni, lo que es peor, de los números irracionales y fraccionarios. Y esto fue una enorme limitación para el avance de la aritmética, que no llegó, ni mucho menos, al desarrollo que tuvo la geometría.

b) La creación del léxico matemático

Mucho más acertados estuvieron los griegos en la solución de otro problema: la creación del lenguaje matemático. Cuando los griegos cambian su forma de enfocar los hechos naturales e intentan darles una explicación mediante la aplicación de la razón, se encuentran con que no tienen un medio de expresión adecuado. Hasta ese momento sólo existía una lengua apropiada para expresar las necesidades del momento: la comunicación cotidiana, de la vida diaria, y el lenguaje literario. Era éste un lenguaje muy expresivo, lleno de metáforas, comparaciones, elementos ornamentales que embellecen la expresión y, lo que es más importante, lleno de ambigüedad: las palabras tienen múltiples significados y adquiere su significado adecuado en cada contexto, en donde cuentan cosas como la intencionalidad, la ironía, el humor. En consecuencia, este lenguaje era muy poco apropiado para la matemática, para la ciencia en general, donde lo que se necesita es exactitud y economía, a fin de que no haya ninguna duda sobre aquello que queremos definir o comunicar. Precisamente la construcción de una lengua con esas características de exactitud y economía va a ser el gran esfuerzo que realicen los matemáticos griegos, desde el mismo Tales. Y lo hicieron con éxito, ya que los griegos crearon un lenguaje científico que ha tenido continuidad y se ha convertido en universal, de manera que el mundo posterior, desde Roma hasta el mundo moderno, sigue usando la terminología científica de los griegos y, cuando tiene que crear términos nuevos, echa mano de sus raíces (o del latino, que se unió con el griego formando un sistema único) y de los procedimientos gramaticales de formación de palabras del griego (gran riqueza en sufijos de derivación y capacidad para la formación de compuestos como no tiene ninguna lengua conocida en la actualidad). Así nuestro lenguaje científico actual es una semigriego o, como dice Adrados, un criptogriego.

A modo de conclusión

Estas reflexiones nos sirven para colocar a los griegos en su lugar en la historia de las matemáticas y de la ciencia occidental. Es verdad que los resultados de su investigación pueden resultarnos ingenuos. Es verdad que tenían pocos medios materiales y ninguna tecnología. Pero esto no debe ser el criterio para emitir un juicio desfavorable de ellos, sobre todo cuando los comparamos con nosotros, los hombres modernos. No seamos soberbios, no nos supervaloremos, porque, si la tecnología es lo único que tenemos en consideración, al ritmo que está evolucionando, dentro de 100 años la distancia que habrá entre nosotros y los hombres de esa época será mucho mayor que la que nos separa a nosotros de los griegos y los que estén aquí entonces nos despreciarán y nos considerarán a nosotros, que ahora estamos tan orgullosos, más atrasados y primitivos que nosotros hoy a los griegos. Y sin embargo nosotros ahora y los hombres del futuro no debemos olvidar que si somos así, si hemos logrado todo ese progreso, es porque hace 2.700 años, en una pequeña ciudad griega, con unas circunstancias muy favorables, un individuo extraordinario llamado Tales, tuvo la idea genial de resolver los problemas y explicar el mundo de una forma nueva, sin recurrir a los dioses: con la lógica, con la razón. Ese es el invento genial, tan genial, que nos parece de lo más natural, como si hubiese existido siempre, porque no concebimos el mundo sin él. Todo lo que vino después de Tales, desde Pitágoras hasta hoy son los frutos concretos que dio ese invento genial que no debemos olvidar. Así que parece prudente tener en cuenta unos consejos de humildad que les daba Pitágoras a los suyos y que nos sirven para cerrar estas reflexiones:

- No te creas más sabio que otro; esto probaría que lo eres menos.
- No desprecies a nadie. Un átomo hace sombra.


















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